ผมมั่นใจว่าคน 99.99% บนโลกนี้ไม่รู้ว่าโดยเฉลี่ยแล้วเราต้องโอน้อยออกกี่ครั้งกันแน่หากต้องการแบ่งข้าง ที่ใช้ๆกันมาเพราะมันไม่ค่อยมีปัญหา วันนี้เราจะมาคำนวณดูว่าตกลงแล้วเวลาแบ่งข้างเราต้องโอน้อยออกกี่ครั้ง ตลอดจนถึงแนวทางการคำนวณเกี่ยวกับหลายอย่างในชีวิตที่เราทำไปโดยไม่รู้จำนวนครั้งที่แท้จริง

จากตอนที่แล้วในบทความ “การโอน้อยออกหลักสูตรใหม่” (http://www.vcharkarn.com/varticle/506014) ผมได้ลองคำนวณความน่าจะเป็นเกี่ยวกับการโอน้อยออกเพื่อแบ่งข้าง โดยนำเสนอแบบใหม่ที่ให้ประสิทธิภาพเป็นสองเท่าของอันเดิม วันนี้เราจะมาคำนวณกันว่าโดยเฉลี่ยแล้วเราต้องโอน้อยออกกันกี่ครั้ง จะได้รู้กันว่าแต่ละครั้งเราโชคดีหรือซวยกันอยู่

นอกจากนี้เรายังจะตอบคำถามเกี่ยวกับกิจกรรมยอดนิยมอันหนึ่ง คือการเล่นหวย โดยเฉพาะเลขท้ายสองตัว เราจะพูดถึงหลักการณ์คำนวณซึ่งก็จะนำไปประยุกต์กับเลขท้ายสามตัวหรือเรื่องอื่นๆได้

ปัจจุบันมีความเชื่อผิดๆเกี่ยวกับจำนวนครั้งในการเล่นหวยเลขท้ายสองตัว เรารู้กันว่าการเล่นเลขท้ายสองตัวแต่ละเลขจะมีโอกาสถูกหนึ่งในร้อย บางคนเลยสรุปไปว่าเล่นไปร้อยครั้งต้องถูกแน่ๆ แบบว่าเอา 1/100 คูณ 100 แล้วได้หนึ่งอะไรทำนองนั้น ซึ่งถ้าไปถามคนที่โดนหวยแดกประจำก็จะรู้เลยว่ามันไม่จริง หรือดูว่าการโยนเหรียญมีโอกาสได้หัว 50% ก็ไม่ได้แปลว่าจะโยนสองครั้งแล้วต้องออกหัว

เรามาคำนวณให้เห็นตัวเลขน่าตกใจสักตัวกันก่อน เตรียมตัวตกใจไว้เลย โอกาสแทงเลขท้ายสองตัวผิดคือ 99/100 โอกาสที่จะซวยติดกัน 100 งวดคือ (99/100)^100 ซึ่งมีค่าถึง 0.366 หรือมากกว่าหนึ่งในสามนั่นเอง ดังนั้นผู้ที่ผิดหวังถึง 100 งวดติดต่อกันก็ไม่ต้องแปลกใจเลย ท่านไม่ได้ซวยมาก ไม่ได้โดนหวยล็อคหนี และไม่ได้โดนคำสาปแต่อย่างใด

เครื่องมือหลักที่จะใช้คำนวณจำนวนครั้งเฉลี่ยในการโอน้อยออกคือ “ค่าคาดหวัง” หรือที่ชาวบ้านชอบเรียกว่า “ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก” หรือจะให้เห็นภาพมากขึ้นก็เป็น “ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักตามโอกาส” หลักการก็มีอยู่ง่ายๆคือหากเหตุการณ์หนึ่งมีผลออกมาเป็นค่าได้ n ค่าคือ v1, v2, ..., vn โดยแต่ละค่ามีโอกาส p1, p2, ..., pn ตามลำดับ ซึ่ง p1+p2+...+pn=1 เราก็จะสรุปได้ว่าค่าคาดหวังหรือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเป็น v1 p1 + v2 p2 + ... + vn pn นั่นเอง ตัวอย่างเช่น แต้มรวมเฉลี่ยของการโยนลูกเต๋าสองลูกก็หาได้จาก 2(1/36)+3(2/36)+4(3/36)+...+11(2/36)+12(1/36) ในกรณีของการโอน้อยออกนั้นอาจต้องทำหลายครั้งไม่จำกัด อาจมีกลุ่มคนซวยทำถึง 50 ครั้ง สูตรที่ใช้จึงเป็นแบบอนันต์ กล่าวคือเรามีค่า v1, v2, v3, ... โดยแต่ละค่ามีโอกาส p1, p2, p3, ... ตามลำดับ ซึ่ง p1+p2+p3+...=1 เราก็จะได้ค่าคาดหวังเป็น v1 p1 + v2 p2 + v3 p3 + ...

งานยากของเราก็เลยเป็นการหาว่าโอกาสที่ต้องโอน้อยออกกัน n ครั้งเป็นเท่าใด เราจึงจะวิเคราะห์จากกรณียอดนิยมคือ 10 คน จากตอนที่แล้วเราได้ว่าโอกาสที่จะสำเร็จแต่ละครั้งเป็น p=0.2461 โอกาสที่จะต้องทำ n ครั้งก็คือ n-1 ครั้งแรกต้องไม่สำเร็จแล้วมาสำเร็จครั้งสุดท้าย จึงได้โอกาสเป็น (1-p)^(n-1) p สรุปรวบยอดแล้วได้ว่าการโอน้อยออกแบบเดิมสำหรับ 10 คนต้องทำประมาณ

ซึ่งมีค่าประมาณ 4.0635 คือถ้าวันไหนแบ่งข้างได้หลังทำไม่เกิน 3 ครั้งก็แปลว่าโชคดี แต่ถ้าเกิน 5 ครั้งก็อนุญาตให้สบถได้

ก่อนที่เราจะมาคำนวณจำนวนครั้งเฉลี่ยโดยใช้การโอน้อยออกแบบใหม่ เราจะมาดูสูตรลัดกันเลย เรื่องมีอยู่ว่าอนุกรมอนันต์

มีค่าน่ารักมาก ออกมาเป็น 1/p เลย ใครชอบพิสูจน์ก็ลองไปเล่นดูเอาเอง เมื่อกี๊ก็เลยเป็น 1/0.2461=4.0635 จากบทความตอนที่แล้วการโอน้อยออกแบบใหม่มีโอกาสสำเร็จเป็นสองเท่า คือ 0.4922 ทำให้จำนวนครั้งเฉลี่ยก็เลยกลายเป็นครึ่งหนึ่ง นั่นคือ 1/0.4922=2.0317 ตกใจดังที่ผมเตือนไว้หรือเปล่า เฉลียเพียงแค่สองครั้งหากใช้วิธีใหม่ของผม ให้โอกาสตกใจอีกรอบ

เอาละ ทีนี้กลับมาเรื่องใหญ่ของเรา จะต้องเล่นหวยเลขท้ายสองตัวเฉลี่ยกี่ครั้งกันแน่ถึงจะถูกรางวัลซักที เตรียมตัวตื่นเต้นรอไว้เลย โอกาสถูกแต่ละครั้งเป็น 0.01 เราก็เอาเข้าสูตรเมื่อกี๊ได้ว่า

ซึ่งมีค่า 1/0.01 = 100 คุ้นๆแปลกๆเลยไหม ต้องเล่นประมาณ 100 ครั้ง ดันไปตรงกับคำตอบแบบที่ชาวบ้านเข้าใจกับผิด แต่เราจะมาตีความให้ถูกกัน คือต้องเล่นประมาณ 100 ครั้งจะถูกครั้งนึง ซึ่งเจ้ามือจ่ายประมาณ 70 ต่อ เห็นชัดเลยว่ามีแต่เสียกับเสีย เพราะฉะนั้นต้องเน้นย้ำไว้เลยว่าการพนันเป็นเหตุแห่งความหายนะจริงๆ ถ้าอดใจไม่ได้ก็ขอแนะนำให้เป็นเจ้ามือแทน

wacharin wichiramala